Bab 12
SUKU BANYAK
A. Bentuk Umum
F(x) = anx" + an_1X,,-1 + an_2x"-2 + ... + a1x + ao di mana an ':F- 0
F(x) = P(x).H(x) + S(x)
Di mana F(x) = polinom yang dibagi
P(x) = pembagi
H(x) = hasH bagi
S(x) = sisa pembagian
a = konstanta
n = bilangan cacah
Nilai suku banyak F(x) untuk x = k adalah F(k).
B. Metode Pembagian
1. Cara biasa
2. Cam Horner
C. Teorema-teorema Penting
1. Teorema sisa
"Jika F(x) dibagi (x - a) maka sisanya adalah F(a)".
Suku banyak F(x) dapat ditulis dalam bentuk
F(x) = (x - a) . H(x) + S(x)
kcterangan: (x - a) = pembagi
H(x) = hasH bagi
S(x) =sisa =fla)
Akibat:
1. F(x) dibagi (ax + b)
F(x) = (ax + b) , H(x) + sisa
Substitusi x = - £, diperoleh:
sisa = F(- £)
2. F(x) dibagi (x - a).(x - b)
F(x) = (x ~ a)(x - b), H(x) + px + q
Substitusi x =a dan x =b maka akan diperoleh sisanya,
2. Teorema Faktor
"Suku banyak F(x) mempunyai faktor (x - a) jika dan hanya jika
F(a) = 0 "
Bentuk lain:
F(x) ;::; (x - a) , H(x) + 0
Dapat disimpulkan F(x) habis dibagi (x - a),
(x - a) disebut faktor dari F(x) dan x = a adalah akar dari F(x)
D. Persamaan Polinomial
Teorema Vieta
I, ax:; + bx2 + ex + d = 0 dengan a 1'- 0 dan akar-akarnya adalah
x" x2 , dan x,
b
x I + x2 + x3 ;::; - 7i
e
x"x2 + x2·x, + X"X, ;::; 7i
d
x"X2,X3 = - 7i
2. ax4 + bx3 + cx2 + dx + e 0 dengan a 1'- 0 dan akar-akarnya
x" x2' x". dan x4 b
x, + x2 + x3 + x4 ;::; - 7i
C x,x2 + X IX3 + X IX4 + X73 + XZx4 + X lX4 = 7i
d
X rx73 + x rx:;x4 + X2X:;X4 = - 7i
e
X,X7:1X4 = 'i7
Soal dan Pembahasan
1. Diketahui fix) dibagi x - 2 bersisa 6 dan dibagi x - 4 bersisa 18.
Hitunglah sisa pembagian fix) dengan x2
- 6x + 8!
Pembahasan:
j(x) dibagi (x - 2) ~ sisa = .[(2) =6
.f(x) dibagi (x - 4) ~ sisa =.f(4) =: 18
Selanjutnya:
j(x) =(2 - 6x + 8) . H(x) + (ax + b)
fi2) = 0 + 2a + b = 6
2a+b=6 (l)
.f(4) =0 + 4a + b =12
4a + b = 18 (2)
Dari persamaan (I) dan (2) diperolch:
2a+b= 6
4a+b= 18
-2a=-12
a=6
h =-6
Jadi, sisa pembagian fix) dengan ,f(x) = xL - 6x + 8 adalah 6x - 6
2. Jika f(x) dibagi (x - 2), (x - 1), dan (x + 1) masing-masing bersisa
9, 8, dan 12. Tentukan sisa pembagian ./(x) dengan x' - U - x + 2!
Pembahasan:
./(x) dibagi (x - 2) ---c> sisa =./(2) =9
./(x) dibagi (x - 1) ---c> sisa =A1) = 8
./(x) dibagi (x + 1) ---c> sisa =./(-1) = 12
Selanjutnya:
.f{x) = (x' - 2.:? - x + 2).H(x) + sisa
=(x - 2) (x - 1)(x + 1).H(x) + (aX + bx + c)
f(2) =0 + 4a + 2b + c =9
4a + 2b + c =9 (I)
.f{1) = 0 + a + b + c = 8
a + b + c = 8 (2)
./(-1) =0 + a - b + C = 12
a - b + C = 12 (3)
Dari persamaan (2) dan (3) diperoleh:
a+b+c= 8
a - b + C = 122b
=-4
b =-2
Substitusi b =-2 ke persamaan (I) diperoleh 4a + c == 13 (4)
Substitusi b = -2 ke persamaan (2) diperoleh a + c = 10 (5)
Selanjutnya dari persamaan (4) dan (5) diperoleh
4a + c == 13
a+c==l03a
;;:; 3
a =1
c ;;:; 9
Jadi, sisa pembagian fix) dengan Xl - 2i - x + 2 adalah ;x? - 2x + 9
3. Jika j{x) dibagi x2
- lx - 3 mempunyai sisa 3x - 1 dan g(x) dibagi
::C - lx - 3 mempunyai sisa 5x + 2. Jika T(x) =fix) - g(x) maka
tentukan sisa pembagian T(x) dengan x2
- 2x - 3!
Pembahasan:
fix) dibagi (x - 3)(x + 1 ) r fi3) = 3.3 - I :::: 8
sisa =3x - 1 -yA-I) =3.(-1) - 1 =--4
g(x) dibagi (x - 3)(x + 1) r- g(3) :::: 5.3 + 2 :::: 17
sisa =5x + 2 4 g(-1) =5.(-1) + 2 :;;: -3
Jika T(x) = fix) - g(x) dibagi (x - 3)(x + 1) maka sisanya adalah
ax + b
T(3) :;;: fi3) - g(3)
3a + b =8 - 17
= -9 (1)
T(-I) '" }{-I) - g(-I )
-a + b =--4 - (-3)
=-1 (2)
Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh:
3a + b",-9
-a + b =-1 -
4a:::: -8
a:::: -2
h:::: -3
Jadi, sisa pembagian T(x) = fix) - g(x) dengan ::C - lx - 3 ada1ah
-lx - 3.
4. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian x' + 6x4 + 3x2
- 8x + 6
dengan x2
- x - 3!
Pembahasan:
Xl + 7r + lOx + 34
x2
_ X - 3 x' + 6x4 + 3x2
- 8x + 6
x' - x4
- 3x3
7x4 + 3x3 + 3x2
- 8x + 6
7x4
- 7r' - 21xz
lOxl + 24.~ - 8x + 6
IOx3
._ lOx2
- 30x
34il + 22x + 6
34x2
- 34x - 102
56x + 108
Jadi, hasil bagi dan sisa pembagian x' + 6x4 + 3x2
- 8x + 6 dengan
x2
- x - 3 adalah x3 + 7x2 + lax + 34 dan 56x + 108.
5• D1"ketahU"I --2x"+--I-' "" -a- + -xb+-1 " H"ItungIah m"Ia"J a - b'"
Xl - 3x - 4 x ~ 4
Pembahasan:
2x+l a b ~----- "" -- + -,,'-
Xl _ 3x - 4 x - 4 x + 1
_ a(x + 1) + b(x - 4)
= -("v - 4)(x--+1)
= .EX' + a + bx - 4ft
- x2
- 3x - 4
_2x_',,_+_I_ =~:': b)x +a - 4~
x2
- 3x - 4 - K - 3x - 4
dengan mcnyamakan mas kiri dan kanan diperoleh:
2x + 1 =(a + b)x + a - 4b ---7 a + b =2
a - 4b = 1 ~
5b = 1
b=l
5
a=2.
5
Jadl" a ~ b = -9 ,- -I = -8 , ' 5 5 5"
6. J1'ka , zr - 4x - 5 - ~-aI + -b-2 +c--3 maka h'ltung1ah m'1at' x - 6x + 11x ~ 6 x - x - x -
a + h + c!
Pembahasan:
2x2
- 4x - 5 = _~ + _b_ + _e_
xJ ~ 6x + llx ~ 6 - x-I x - 2 x - 3
a(x - 2)(x - 3) + h(x - l)(x - 3) + c(x - O(x - 2)
(x - 1)(x - 2)(x - 3)
a(x2
- 5x + 6) + b(x2 ~ 4x + 3) + C(K - 3x + 2)
x' - 6K + Ilx - 6
-(-a -+ -h + C)K - (5a + 4b + 3c)x + (6a + 3b + 2c)
xJ _ 6x2 + llx - 6
Jadi,
u- 4x - 5
--~',- .~-, x' - 6x + llx - 6
(a + b + c)x2
=---.._-_.._- .. (5Ja + 4b -+- 3c)x + (6a + 3h + 2c)
X - 6f + llx - 6
dengan menyamakan mas kiri dan kanan diperoleh:
2r - 4x - 5 := (a + b + c)r - (5a + 4b + 3c)x + (6a + 3b + 2c)
a + b + c::: 2 (1)
5a + 4b + 3c = 4 (2)
6a + 3b + 2c =-5 (3)
Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh
a + b + c := 2 (kali 3)
5a + 4b + 3c =4 -
-2a - b = 2 (4)
Dan persamaan (1) dan (3), diperoleh
a + b + C = 2 (kali 2)
6a + 3b + 2c = -5 -
-4a - b::: 9 (5)
Dan persamaan (4) dan (5), diperoleh
-2a - b = 2
-4a-b= 9-
2a = -7 ~ a =-7-
b =5 2
I c=2"
Jadi, nilai a + b + c adalah 2.
7. Suatu polinom P(x) =ax' + bx + 1 dengan a dan b konstanta real
dan a, h :;t: O. Jika P(x) dibagi (x + 2008) mempunyal sisa 3 maka
hltunglah sisa pembagian P(x) dcngan (x - 2008)!
sisa =P(-2008) =a(-200S)' + b(-2008) + 1 =3
-a(2008)1 - b(2008) = 2
a(2008)5 + b(200S) =-2
---} slsa =P(2008) =a(2008)5 + b(2008) +I
=-2 + 1
= -1
P(x)
x - 2008
Pembahasan:
P(x) =axS + hx +1
P(x)
.- •..._- ---}
x + 2008
8. Diketahul suatu polinom P(x) =;x4 + ax3 + bx2 + ex + d.
Jika P(I) =P(2) =P(3) =P(4) =0 maka hitunglah P(O)!
Pemhahasan:
Misalkan P(x) =x4 + ax1+ bx2 + ex + d
P(1) = 1 + a + b + e + d =0 ¢;:> a + b + e + d = -1 (1)
P(2) = 16 + 8a + 4b + 2e + d =0 ¢;:> 8a + 4b + 2e + d =-16 (2)
P(3) =81 + 27a+ 9b + 3e + d =0 <=> 27a+ 9b + 3c + d =-81.. (3)
P(4) =256+ 64a+ 16b + 4c + d::: 0 <=> 64a+ 16b + 4c + d::: -256 (4)
Dari persarnaan (1) dan (2) diperoleh:
a + b + e + d = -1 (kali 2)
8a + 4b + 2e + d =-16 _
-6a - 2b + d = 14 (5)
Dari persamaan (1) dan (3), diperoleh:
a + b + c + d =~1 (kali 3)
27a + 9b + 3c + d =-81 -
-24a -6b + 2d = 78 (6)
Dad pcrsamaan (I) dan (4), diperoleh:
a + b + c + d = -1 (kali 4)
64a + 16b + 4c + d =-256 -
-60a- J2b + 3d = 252 (7)
Dari persamaan (5) dan (6), diperolch:
-6a- 2b + d = 14 (kali 4)
-24a -6b + 2d =78 -
-2b + 2d =-22 (R)
Dari pcrsamaan (6) dan (7), diperoleh:
-24a -6b + 2d =78 (kali 5)
-60a - 12b + 3d = 252 - (kali 2)
-6b + 4d =·-114 (9)
Dari persamaan (8) dan (9), diperoleh:
-2h + 2d = -22 (kaIi 3)
-6b + 4d =-114
2d = 48
d =24
Akibatnya: P(x) =x4 + ax3 + bx2 + ex + d
P(O) = 0 + 0 + 0 + 0 + 24 = 24
9. Hitunglah jumlah semua koefisien (Xl - 2x - 4)3!
Pembahasan:
~-2x-~=~-2x-~~-2x-~~-2x-~
= (.0 - 4x3 - 4x2 + 16x + 16)(x2 - 2x - 4)
= X' - 2x5
- 4.0 - 4xS + 8.0 + 16x3
- 4.0 + 8x3 +
16x2 + 16x1
- 32xl - 64x + 16x2 - 32x - 64
= X' - 6x' + 40x3 - 96x - 64
Jadi, jumlah semua koefisien adalah 1 - 6 + 40 - 96 - 64 =-125
10. Jika 5(x - 1)5 + 4(x - 1)3 + 3(x - 1)2 + 2(x - 1)2 + (x - 1) =0 maka
hitunglah jumlah semua akarnya!
Pembahasan:
5(x - 1)' + 4(x - 1)4 + 3(x - 1)3 + 2(x - 1)2 + (x - 1) =0
5(xS - 5.0 + IOx3 - 1Ox2 + 5x - 1) + 4(.0 - 4x3 + 6x2 + 4x - 1) +
3(x1
- 3x2 + 3x - 1) + 2(x2
- 2x + 1) + (x - 1) = 0
Sxs - 21.0 + 37x3 - 33x2 + 47x - 11 =0
Berdasarkan teorema Vieta:
h
Xl + x2 + x3 + x4 + x5 = -a
=_(-21) =~
5 5
Soal Latihan
1. Suku banyak fix) dibagi (x - 1) sisanya 2 dan dibagi (x - 2) sisanya
6. Sisa fix) jika dibagi x2 - 3x + 2 adalah ....
a. 4x + 2 d. 2x - I
b. 4x - 2 e. 2x - 2
c. 2x + 1
2. Jika fix) dibagi (x - 3), (x - 1), dan (x + 2) masing-masing bersisa
20, 6, dan 15. Jika./l:x) dibagi x3 - 4x2 -5x + 6 akan mempunyai sisa
a.2x2 +x+5
b. 2x2
- x + 5
C. 2x2
- X + 6
d. 2x2 - X - 5
e. zr - x + 10
3. Suku banyak ./tx) dibagi x2
- 3x - 4 bersisa 2x + 1 dan suku banyak
g(x) dibagi x2
- 3x - 4 bersisa x + 3. Jika T(x) =fix) + g(x) maka
T(x) dibagi x2 - 3x ~ 4 akan bersisa ....
a. 3x + 5 d. 2x + 1
b. 3x + 4 e. x ~ 2
c. 2x - 1
4. Diketahui suku banyak fix) dibagi x2
- 5x - 6 bersisa 2x + 3 dan
g(x) dibagi x2 - 5x - 6 bersisa 4x + 2. Jika T(x) =fix) + g(x) maka
T(x) dibagi r - 5x - 6 bersisa ....
a. 5x + 5 d. 6x + 6
b. 5x + 6 e. 6x + 7
c. 6x + 5
d. ~(1 + x)./(-I)
c. ~O - x) fl.-1)
5. Diketahui suku banyak fl.x) habis dibagi (x x2
- 1 maka sisanya adalah . . . .
a. - ~(l - x) ./(1)
b. - ~O + x) )(1)
c. - to -x) ./(-1)
I). Jika fl.x) dibagi
6. Diketahui
a. 3
h. 4
c. 5
3x -::._1_ == --.!!..-7- + -, b l' Nilai 2a + 4b adalah ....
x2 -6x-7 x- x+
d. 6
e. 7
d. 24
e. 25
d. X- + 3x + 5
e. xl + 3x + 6
d. -55x + 52
e. -55x + 55
7. Jika ,,0' + 2x + 4 == ~ + _b_ + _L maka nilai
,il - 4x~ - x + 4 x-I x + 1 X - 4
6a + lOb + 15c adalah . . . .
a. 21
b. 22
c. 23
8. Jika ,.:J + 4x1 + 3xl + 2x - 3 dibagi x2 + X - 5 maka hasil baginya
adalah ....
a. x2
- 3x + 5
b. xl + 3x - 5
c..0' - 3x - 5
9. Jika.r5 + 5xil
- 2.i1 + 4x2 + X + 5 dibagi x2 + 2x - 2 maka sisanya
adalah ....
a. -55x + 40
b. -55x + 45
c. -55x + 39
10. Jumlah semua koefisien (xl + 2\: - 2)2 adalah ....
a -1 d. 2
b. 0 e. 3
c. I
11. Jumlah semua koefisien x pangkat ganjil (2x2 + X - 4)5 adalah ....
a. 64 d. l44
b. 81 e. 169
c. 121
12. Diketahui polinominal P(x) =.i' + aX' + bxl + cxl + dx + e.
Jika P(I) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) =0 maka nilai P(6) =....
a. 80 d. 200
b. 120 c. 240
c. 160
13. Diketahui polinomial P(x) = U + ax3 + hx2 + ex + d.
Jika PO) =2, P(2) =3, P(3) =4, dan P(4) =5 maka nilai P(5) =
a. 6
b. 18
c. 30
d. 54
c. 72
14. Suatu polinom P(x) = ax "" + bx51 + ex - 3 dengan a, h, dan c
konstanta real dan a, b, c 7:- O. Jika P(x) dibagi (x - 123) sisanya 5
maka P(x) dibagi (x + 123) akan bersisa ....
a. -13 d. -7
b. -II c. -5
c. -9
15. Jika diketahui suatu polinomial: (x + 2)' - 12(x + 2)4 + 6(x + 2)3 +
8(x + 2)l + x - 3 = 0 maka jumlah semua akarnya adalah ....
~ 2 d. 5
~ 3 ~ 6
c. 4
